SEMANA CINCO. TALLER 5: POTENCIACION DE NUMEROS ENTEROS. TALLER 6: Propiedades de la potenciación de enteros.

 

Potenciación con números enteros

Qué es una potencia de números enteros?

La potencia es la expresión abreviada de una multiplicación en que todos los factores son iguales. 

    aⁿ  = a · a · a · … · a

El producto se hace n veces.

La base, a, es el factor que se repite.
El exponente, n, indica el número de veces que se repite la base.
La potencia es el resultado.

Por ejemplo:

a)     2⁴ = 2 · 2 · 2 · 2 = 16

b)     0² = 0 · 0 = 0

c)     4⁰ = 1 (este es un caso especial, ya que no podemos multiplicar un número por sí                        mismo 0 veces)

d)     3⁵ = 3 · 3 · 3 · 3 · 3 = 243

e)     1⁹ = 1 · 1 · 1 · 1 · 1 · 1 · 1 · 1 · 1 = 1

Veamos que pasa cuando la base es un número negativo. 

1) Si la base es negativa y el exponente es par, el resultado( potencia) es positivo. 

     Ejemplos:

                      (-3)² = 9 porque (-3) . (-3) = 9

                      (-2)⁸ = 256 porque (-2) · (-2) · (-2) ·(- 2) ·(- 2) · (-2) · (-2) ·(- 2) = 256

2) Si la base es negativa y el exponente es impar, el resultado( potencia) es negativo.

     Ejemplos:

                      (-3)³ =- 27 porque ( -3) . (-3) . (-3) = -27

                      (-2)⁹ = -512 porque (-2) · (-2) · (-2) ·(- 2) ·(- 2) · (-2) · (-2) ·(- 2) . (-2) = - 512

3)  Si la base es positiva y el exponente es par o impar, el resultado( potencia) es positivo.

     Ejemplos:

                       2⁸ = 256 Porque 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 256

                       2⁹ = 512  Porque 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2. 2 = 512

4) Si la base es negativa y está elevada a un exponente par, pero esta base va fuera de un paréntesis, el resultado es negativo. Ejemplo: 

                                                                       -2⁸ = -  2 ·- 2 · - 2 ·-  2 ·-  2 · - 2 · - 2 · - 2 = - 256 

Pero,  Si la base es negativa y está elevada a un exponente par, pero esta base va dentro de un paréntesis, el resultado es positivo. Ejemplo:

                                                             (-2)⁸ = (-2) · (-2) · (-2) ·(- 2) ·(- 2) · (-2) · (-2) ·(- 2) = 256

Como podes observar  -2⁸ no es igual a (-2)⁸  

^{Aquí puedes ver que el exponente 8 es sólo para el número 2 y no para el signo menos(-), por ello el resultado es negativo. En cambio cuando escribimos -2 dentro del paréntesis  y escribimos el exponente ocho tanto para la base como para el signo menos, dicho exponente afecta tanto al signo como al número.}

DEBEMOS TENER EN CUENTA LAS SIGUIENTES REGLAS:

1)  Las potencias de exponente par son siempre positivas.

(+)par = +

(−)par = +

2) Las potencias de exponente impar tienen el mismo signo de la base.

(+)impar = +

(−)impar = −

Taller  5   Tema: Potenciación  Ver video: Potenciación

1. Hallar el cuadrado de los siguientes números enteros,escriba como el producto de factores  repetidos y señale la base, el exponente y la potencia.

2. Hallar el cubo de los siguientes números enteros,escriba como el producto de factores  repetidos.

 Propiedades de las potencias de números enteros

1) La potencia de exponente 0 es igual a 1: 

                                           Todo número elevado al exponente cero, es igual a 1. Ejemplo:

     

2) Potencia de base cero: 

    

Ejemplo:

3) Exponente 1: 

                   Todo número elevado al exponente 1,  es igual a ese mismo número. Ejemplo: 

4) Producto de potencias con la misma base: 

                                                                      Para multiplicar potencias que tengan igual base, escribimos la misma base y sumamos los exponentes. Ejemplo:

     

= 128

5) División de potencias con la misma base:

                                                        Para dividir potencias que tengan igual base, escribimos la misma base y restamos los exponentes. Ejemplo:

6) Potencia de exponente negativo: 

7. Potencia de una potencia

8) Potencia de un producto: Sacamos las bases y las elevamos al exponente indicado,                                                          hallamos las potencias y multiplicamos. Llamada también distributiva de la multiplicación.

Resumamos:

PRIMERA FORMA: (−2 · 3)³

                                 (−6)³= -216

SEGUNDA FORMA: (−2 · 3)³ =

                                    -8 X 27 = −216

                                                 Sacamos las bases y las elevamos al exponente indicado, hallamos las potencias y multiplicamos.

9) Cociente de una potencia:

Sacamos las bases, las elevamos al exponente indicado, hallamos las potencias y dividimos.

RESUMAMOS: 

PRIMERA FORMA: (−6 : 3)³ =

                                       (-2)³ = -8

SEGUNDA FORMA:(−6 : 3)³ =

                         -216 : 27 = −8          Sacamos las bases y las elevamos al exponente indicado, hallamos las potencias y dividimos.

📘 TALLER  6: PROPIEDADES DE LA POTENCIACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS

Instrucciones:
Aplica la propiedad indicada en cada sección y simplifica completamente.

SEMANA CUATRO-TALLER 4: MULTIPLICACION Y DIVISION DE ENTEROS

16 AL 20 FEBRERO.

 MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS

Ley de los signos

Para multiplicar dos números enteros se siguen estos pasos.

1. Se multiplican sus valores absolutos (en la práctica, los números entre sí).

2. Al resultado le colocamos el signo + si ambos números son de igual signo,

y el signo −si son de signos diferentes.

DIVISIÓN DE NÚMEROS ENTEROS

Para dividir dos números enteros se siguen estos pasos.

1. Se dividen sus valores absolutos (en la práctica, los números entre sí y

siempre que la división sea exacta).

2. Al resultado le colocamos el signo + si ambos números son de igual signo,

y el signo −si son de signos diferentes.

Ejemplos

Veamos los ejemplos que hemos preparado de la regla de los signos:

---

Ver video

Para agilizar las operaciones de multiplicación y división de números enteros se

utiliza la regla de los signos:

Multiplicación División

(+) ⋅(+) = + (+) : (+) = +

(−) ⋅(−) = + (−) : (−) = +

(+) ⋅(−) = − (+) : (−) = −

(−) ⋅(+) = − (−) : (+) = −

Por ejemplo:

a) (+5) ⋅ (−3) = −15 

b) (−5) ⋅ (−3) = +15 

c) (+5) ⋅ (+3) = +15

d) 5 ⋅ 3 = 15

e) (+20) : (−4) = −5

f) (−20) : (−4) = +5 

g) (+20) : (+4) = +5

h) 20 : 4 = 5

El producto de dos números enteros de igual signo es un número positivo.

5 × 4 = 20 −7 × (−2) = +14

El producto de dos números enteros de distinto signo es un número negativo.

8 × (−7) = −56 (−9) × 2 = −18

El cociente de dos números de igual signo es un número positivo.

21 ÷ 7 = 3 −16 ÷ (−2) = 8

El cociente de dos números de distinto signo es un número negativo.

60 ÷ (−12) = −5 −15 ÷ 5 = −3

Operaciones combinadas con números enteros

Las operaciones combinadas o mixtas son operaciones compuestas por varias

operaciones (sumas, restas, multiplicaciones y/o divisiones).

En estas operaciones, la multiplicación y la división tienen prioridad sobre la suma

y la resta. Los paréntesis pueden utilizarse para cambiar este orden.

Ejemplo 1

Hemos calculado la multiplicación y, después, la suma.

Ejemplo 2

Hemos calculado la multiplicación y, después, la suma.

Ejemplo 3

En esta operación, hemos calculado primero la resta porque había un paréntesis: El −2−2 multiplica al resultado de la resta del paréntesis.

Ejemplo 4

En esta operación, hemos calculado primero la suma porque había un paréntesis: el −16−16 tiene que dividirse entre el resultado de la suma del

paréntesis.

Ejercicios resueltos: operaciones combinadas

Ejercicio 1

Solución

Primero, calculamos la multiplicación:

Ejercicio 2

Solución

Primero, la resta del paréntesis:

Ejercicio 3

Solución

Primero, la resta del paréntesis:

Observe que los números y operaciones de los 3 ejercicios anteriores son los mismos, pero los resultados son distintos porque los paréntesis cambian el orden de las operaciones.

Ejercicio 4

Solución

Primero, tenemos que resolver el paréntesis. Dentro de éste, tiene prioridad la multiplicación.

Ejercicio 5

Solución

Primero, la resta del paréntesis de dentro:

Ejercicio 6

Solución

Primero, la multiplicación del paréntesis:

Ejercicio 7

Solución

Primero, las sumas de los paréntesis:

Ejercicio 8

Solución

Primero, la multiplicación y, después, las sumas:

Ejercicio 9

Solución

Primero, la multiplicación del paréntesis y, seguidamente, la resta:

Ejercicio 10

Solución

TALLER  4    TEMA: Multiplicación y división de números enteros.

 1. Resuelve los siguientes ejercicios combinados de adición y sustracción de números enteros e indica todo el desarrollo pertinente. 

a) −1+9−2=              b) −43−(−22−19) =      c) 25+ ( -12 + 5 ) -  40 - ( 8-10-5)

2. Calcula las siguientes multiplicaciones de números enteros:

 a) - 7∙ 9 =         b) 25∙(−5) =           c) (−32)∙(−12) =          d) −24∙7 . -2 =      

 e) -13. (-25)

3. Calcula las siguientes divisiones de números enteros:

a) -32 : (-7) : (-3)     b) -20 : ( + 10) : ( - 5 )     c)  80 : 50 : ( -2)

4. Calcula las siguientes operaciones combinadas de números enteros:

 a) 28 ∶ (7. 2) =       b) 36 ∶ (−3 - 3) =          c) (−12 . 4) ∶ (−4) =       d) −150 ∶ 75= 

5.  Completa con el número que falta para que cada operación esté correcta: 

 a)   _____ ∙1=−8                b) _____  ∙−7=−56              c) 2∙ ______=−90  

 d) ______ ∙−12=144   

      

SEMANA TRES. TALLER 2: SUMA DE NÚMEROS ENTEROS--TALLER 3: Tema: Valor absoluto, suma y resta de números enteros.

 9 AL 13 DE FEBRERO

➕ Suma de números enteros

Definición

La suma de números enteros es la operación que consiste en agregar o combinar valores, respetando el signo de cada número.

El resultado se llama suma o total.

Se puede pensar como moverse en la recta numérica:

• hacia la derecha si se suma un número positivo (+)

• hacia la izquierda si se suma un número negativo (−)

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🔹 Reglas para sumar enteros

1. Suma de números con el mismo signo

• Se suman los valores absolutos y se conserva el mismo signo.

Ejemplos:

1. $+7 + +3 = +10$

2. $−5 + −8 = −13$

Explicación:

• +7 y +3 son positivos → se suman → resultado positivo.

• −5 y −8 son negativos → se suman → resultado negativo.

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2. Suma de números con signos diferentes

• Se restan los valores absolutos y se toma el signo del número con mayor valor absoluto.

Ejemplos:

1. $+9 + −4 = +5$

2. $−12 + +7 = −5$

Explicación:

• +9 y −4 tienen signos diferentes → restamos 9 − 4 = 5 → signo del número mayor (9 → positivo)

• −12 y +7 tienen signos diferentes → restamos 12 − 7 = 5 → signo del mayor (−12 → negativo)

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🔹 Representación en la recta numérica

• Partimos del primer número.

• Movemos hacia la derecha si el segundo número es positivo.

• Movemos hacia la izquierda si el segundo número es negativo.

Ejemplo gráfico mental:

$+4 + (−6)$

• Partimos en +4 → nos movemos 6 unidades a la izquierda → resultado = −2

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🌍 Ejemplos de la vida cotidiana

1. María tiene $20.000 y gasta $12.000.
   $+20.000 + (−12.000) = +8.000$
   ➡ Le quedan $8.000.

2. En un juego, Juan pierde 5 puntos y luego gana 3 puntos.
   $(−5) + (+3) = −2$
   ➡ Juan tiene 2 puntos menos.

3. La temperatura era −2 °C y subió 5 °C.
   $(−2) + (+5) = +3$
   ➡ La temperatura actual es 3 °C.

TALLER  2– SUMA DE NÚMEROS ENTEROS (Educación Financiera y Vida Cotidiana)

1. Escribe tres números enteros positivos que representen ingresos, ahorros o ganancias:
   __________ __________ __________

2. Escribe tres números enteros negativos que representen gastos, deudas o pérdidas:
   __________ __________ __________

3. Recibiste $12.000 de mesada y gastaste $5.000 en útiles escolares. ¿Cuánto dinero te queda?
   $+12.000 + (−5.000) =$ ______

4. Un amigo tenía una deuda de $7.000 y paga $3.000. ¿Cuál es su nueva deuda?
   $(−7.000) + (+3.000) =$ ______

5. Compraste un cuaderno por $4.500 y una merienda por $3.500. ¿Cuánto gastaste en total?
   $(−4.500) + (−3.500) =$ ______

6. En un juego, pierdes 8 puntos y luego ganas 12 puntos.
   $(−8) + (+12) =$ ______

7. La temperatura en la mañana era −2 °C y subió 5 °C durante el día.
   $(−2) + (+5) =$ ______

8. Ana tiene $10.000 ahorrados. Compra un libro por $12.000.
   $+10.000 + (−12.000) =$ ______
   ➡ ¿Está Ana en números positivos o en deuda?

9. Representa en la recta numérica: tu saldo en el banco pasó de −5.000 a +8.000 por un depósito.

10. Gastaste $6.000 de tus ahorros de $3.000. ¿Cuál es tu saldo final?
    $+3.000 + (−6.000) =$ ______

11. Si recibes $7.000 de regalo y debes $10.000 a un amigo, ¿Cuál es tu saldo final?
    $+7.000 + (−10.000) =$ ______

12. Explica con tus palabras cómo la suma de números enteros puede ayudarte a llevar un presupuesto o controlar tus gastos y ahorros.

Resta de números enteros

Una resta de números enteros se puede resolver como si se tratara de una suma, pero con una particularidad:

El símbolo de la resta le cambia el signo a la cifra que le sigue, por lo que:

Si el número que se resta es positivo lo convierte en negativo.

Si el número que se resta es negativo lo convierte en positivo.

Vamos a ver a continuación cuatro posibles casos:

a) A un número positivo le restamos otro número positivo:

(+3) - (+2) = 3 - 2 = 1   

b) A un número positivo le restamos un número negativo:

3 - (-4)    Multiplico los dos signos que están seguidos

3 + 4= 7

c) A un número negativo le restamos otro número negativo:

(-3) - (-4)    Multiplico los dos signos que están seguidos

(-3) + (4)    Como son signos contrarios, entonces se resta

4 - 3 = 1    Al número mayor le restamos el menor

d) A un número negativo le restamos un número positivo:

(-3) - 4 como los dos tienen signos iguales, entonces se suman

(-3) + (-4)

Al el resultado se le pone el signo negativo: (-3) + (-4) = -7

 Tomado de https://ele.chaco.gob.ar/mod/book/view.php?id=92398

Adición y Sustracción de números enteros.

 Para sumar dos números enteros se procede de la siguiente forma: 

1. Si los números tienen el mismo signo, se suman sus valores absolutos y se mantiene el signo común. Ejemplos:

a) 13 + 8 = 21              b)  –3 + (–15) =- 3 - 15=  –18 

2. Si los números tienen diferente signo, se restan sus valores absolutos (el mayor menos el menor) y se coloca el signo del que tenga el mayor valor absoluto. Ejemplos:

a) –23 + 64 = (64 – 23) =    41                    b)  –37 + 5 = –32 

TALLER N°3  Tema: Valor absoluto, suma y resta de números enteros.

1) Escriba al frente el valor absoluto

a) |-107| =                              b) |2| =                             c) |-13| = 

d) |43| =                                 e) |-9| =                            f) |-5| = 

g) |-32| =                                h) |78| =                           i) |-18| = 

2) Resuelva las siguientes operaciones, hallando primero el valor absoluto:

a)|45| + |-17| – |-12| = 

b) |119| –-| 200| =

c) |-49 | - |7| = 

d) |356| + |-100| =

e) |-3|+| – 3| = 

f) |200| – |-50| = 

g) |-3| +| 80| = 

h) |-350| -|100| = 

i) |-2 | +|-15| + |-7| = 

3) Resuelve al frente  las siguientes operaciones de suma de enteros

 a. –45 + (–23) =                                                                   b. 29 + (–13) = 

c. –587 + 48 =                                                                       d. –39 + 65 = 

e. –689 + (–48) =                                                                  f. 34 + (–193) = 

g. 720 + 323 = 

4. Resuelve al frente las siguientes sustracciones.

 a. 546 – 723 =                                                                      b. –145 – (–76) = 

c. 428 – (–238) =                                                                   d. –321 – (–53) = 

e. 85 – 64 =                                                                            f. 57 – (–84) =

 g. –139 – 79 =                                                                       h. –78 – (–428) = 

i. 579 – 631 =                                                                          j. –45 – (–45) = 

k. 128 – 128 =