RAZONES Y PROPORCIONES
1. ¿Qué es una razón?
Una razón es la comparación entre dos cantidades mediante una división. Nos permite saber cuántas veces una cantidad contiene a otra o qué relación existe entre ellas.
La razón se puede escribir de dos maneras:
Donde (a) es el antecedente y (b) es el consecuente. El consecuente debe ser diferente de cero.
Ejemplo 1. En un salón hay 12 niñas y 8 niños. ¿Cuál es la razón entre el número de niñas y el número de niños?
12 niñas 8 niños
Importante: el orden de las cantidades importa. La razón entre niñas y niños es (12:8), mientras que la razón entre niños y niñas es (8:12).
2. ¿Qué es una proporción?
Una proporción es la igualdad entre dos razones.
Por ejemplo:
Esta igualdad es una proporción porque ambas fracciones representan la misma relación.
Se puede escribir también así:
En una proporción se distinguen cuatro términos:
Extremos: 2 y 6.
Medios: 3 y 4.
Propiedad fundamental de las proporciones
En toda proporción, el producto de los extremos es igual al producto de los medios.
Multiplicamos en cruz:
Como los productos son iguales, la proporción es correcta.
3. Cómo encontrar un término desconocido
Cuando falta un número en una proporción, podemos encontrarlo multiplicando en cruz y dividiendo.
Ejemplo 2. Encuentra el valor de x.
Las dos razones son equivalentes.
4. Proporcionalidad directa
Dos cantidades son directamente proporcionales cuando, al aumentar una cantidad, la otra también aumenta en la misma proporción; y cuando una disminuye, la otra también disminuye proporcionalmente.
Ejemplo 3. En una papelería, 3 cuadernos cuestan $12.000. ¿Cuánto cuestan 5 cuadernos, si todos tienen el mismo precio?
Cuadernos | Precio |
|---|---|
3 | $12.000 |
5 | x |
Respuesta: los 5 cuadernos cuestan $20.000.
5. Proporcionalidad inversa
Dos cantidades son inversamente proporcionales cuando, al aumentar una, la otra disminuye en la misma relación, siempre que las condiciones del problema se mantengan.
Ejemplo 4. Cuatro trabajadores terminan una labor en 6 días. ¿Cuántos días tardarían 8 trabajadores, si todos trabajan al mismo ritmo?
Trabajadores | Días |
|---|---|
4 | 6 |
8 | x |
Como aumentan los trabajadores, disminuyen los días.
Multiplicamos las cantidades de cada fila:
Resuelve. Escribe los procedimientos completos y las respuestas.
1. En un grupo hay 15 estudiantes que practican fútbol y 10 que practican baloncesto. Escribe y simplifica la razón entre quienes practican fútbol y quienes practican baloncesto.
2. Determina si las siguientes razones forman una proporción:
Comprueba multiplicando en cruz.
3. Encuentra el valor de x:
4. Si 4 kilogramos de arroz cuestan $18.000, ¿cuánto cuestan 7 kilogramos al mismo precio por kilogramo?
5. Seis máquinas iguales realizan un trabajo en 10 horas. ¿Cuántas horas tardarían 12 máquinas iguales, trabajando al mismo ritmo?
6. Para preparar 4 vasos de jugo se necesitan 8 naranjas. ¿Cuántas naranjas se necesitan para preparar 10 vasos con la misma cantidad de jugo por vaso?
7. Una bicicleta recorre 36 kilómetros en 2 horas a velocidad constante. ¿Cuántos kilómetros recorrerá en 5 horas?
8. En una receta, la razón entre tazas de harina y tazas de leche es de \(3:2\). Si se utilizan 9 tazas de harina, ¿cuántas tazas de leche se necesitan para conservar la proporción?
Recuerda: en todos los ejercicios debes identificar las cantidades, plantear la razón o proporción, realizar las operaciones y escribir la respuesta con su unidad cuando corresponda.
