El hombre desde principios de la evolución siempre utilizó recursos para facilitar su relación con el medio que lo rodea; para contar cantidades utilizaba piedras, hacía marcas en los arboles o nudos en sogas. Desde la era primitiva el hombre siempre buscó respuestas a sus inquietudes. La inquietud permitió la aparición de conceptos abstractos en la mente del hombre primitivo ya evolucionado. Cuando el hombre desarrolla la capacidad de darle sentido racional a las cosas, nace el concepto de cantidad.
El hombre primitivo sólo era capaz de distinguir entre una cosa o muchas. Durante el proceso de hominización, a medida que aumenta su capacidad de abstracción, aprende a contar. El pensamiento matemático nació por la necesidad de enumerar las reses, contabilizar objetos y controlar el paso del tiempo. Para ninguna de estas actividades era preciso el cero. Contar es identificar los elementos de un conjunto, por ejemplo piedras, con un subconjunto {1,2,...,n} de los números naturales. Los números naturales cuentan y ordenan: uno, dos, tres, cuatro...
Los números naturales, no son suficientes cuando se quiere fijar una referencia. Es el caso de la temperatura ambiente o los tratos comerciales. Una deuda no se puede representar con un número natural, además el frío y el calor deben medirse en relación con algo. Hay que inventar una referencia y la manera de contar a ambos lados de esta: es el número cero, los naturales positivos y los negativos.
El número cero apareció en Mesopotamia hacia el siglo III a.C., sin embargo, su primer cometido fue el de un dígito sin contenido, un posicionador, para diferenciar unas cantidades de otras. (por ejemplo, 1 de 10). Los números enteros cuentan respecto a una referencia: menos dos, menos uno, cero, uno, dos...
Se sabe que los números naturales se pueden sumar y multiplicar, pero no todos se pueden restar o dividir; este hecho trajo como consecuencia la extensión del conjunto de los naturales. El hombre, visto en la imposibilidad de realizar, en general, la operación de resta crea otro conjunto, que viene hacer el conjunto de los números negativos, conocidos antiguamente como “números deudos” o “números absurdos”, que datan de una época donde el interés central era la de convivir con los problemas cotidianos a la naturaleza.
Hoy en día, los números enteros representan una generalización del conjunto de números naturales que incluye números negativos (resultados de restar a un número natural otro mayor además del cero). Así los números enteros están formados por un conjunto de enteros positivos que podemos interpretar como los números naturales convencionales, el cero, y un conjunto de enteros negativos que son los opuestos de los naturales (éstos pueden ser interpretados como el resultado de restar a 0 un número natural).
Los enteros se representan gráficamente en la recta de números enteros como puntos a un mismo espacio entre sí desde menos infinito, ..., -3 , -2, -1, 0, 1, 2, 3,... hasta más infinito: los números enteros no tienen principio ni fin.
Los números negativos pueden aplicarse en distintos contextos, como la representación de deudas, profundidades bajo el nivel del mar, temperaturas bajo cero, entre otros. Inicialmente el primer campo de aplicación fue la contabilidad donde los números negativos significaban deudas y los positivos haberes o activos poseídos. El hecho de que un número sea entero, significa que no tiene parte decimal. Imaginemos que disponemos de dos barras de chocolate, cada una con tres divisiones, las cuales van a repartirse entre tres personas. Es claro que esta operación puede realizarse convenientemente si a cada persona le tocan dos partes de las tres que tiene cada barra. Ahora bien, imaginemos que tenemos 7 balines (esferas de metal) que queremos repartir entre las mismas tres personas. Es claro que no puede partirse un balín para que a cada persona le toque la misma cantidad de balines, así que a cada uno le deben tocar dos balines y regalar uno para que la repartición sea justa, o bien conseguir otros dos balines para que a cada uno le toquen tres.
ORDENAR NÚMEROS ENTEROS.
Ordenar, en sentido creciente, representar gráficamente, y calcular los opuestos y valores absolutos de los siguientes números enteros:
8, −6, −5, 3, −2, 4, −4, 0, 7
SOLUCIÓN
− 6 < − 5 < − 4 < − 2 < 0 < 3 < 4 < 7 < 8
VALOR ABSOLUTO DE UN NÚMERO ENTERO
Valor absoluto: El valor absoluto de un número es su valor numérico sin tener en cuenta su signo.
Se representa con el símbolo | | y se lee el valor absoluto de
Por ejemplo:
Valor absoluto de 8 → | 8 |
OPUESTO DE UN NÚMERO ENTERO
Opuesto: El opuesto de un número es el número que al ser sumado con él da de resultado el número 0.
Recuerda que:
Cada número entero tiene su opuesto (que será el mismo número cambiado de signo).
El opuesto de un número tiene el mismo valor absoluto, pero signo contrario.
El opuesto del número 0 es 0.
Vamos a resolver varios ejemplos.
Ejemplo 1
Calcula el valor absoluto de
a) -4
b) 5
c) 27
d) -1
Solución:
Para calcular el valor absoluto escribimos el número con el símbolo del valor absoluto
a) | -4 | = 4 (como dice la definición es el número sin tener en cuenta el signo)
b) | 4 | = 4
c) | 27 | = 27
d) | -1 | = 1
Ejemplo 2
¿Qué valores puede tomar a ?
| a | = 6
Solución:
En este caso nos dan el valor absoluto y nos piden que indiquemos los valores que puede tomar el número en cuestión.
Si te fijas en el ejemplo anterior, en los apartados a y b, vemos que tienen el mismo resultado, pero el número es distinto; en el apartado a es -4 y en el b es 4.
Así, ya tenemos la solución: el número a puede tomar los valores de 6 y -6
Ejemplo 3
Calcula el opuesto de los siguientes números
a) -8
b) +54
c) 5
Fíjate que en el apartado c el signo + no lo he puesto… en este curso lo verás escrito casi siempre puesto que vas a estudiar los números negativos, y para evitar errores se suele escribir, pero ten encuenta que, si no hay signo es que hay un +
Solución:
a) Op ( -8 ) = 8 ¿a qué la suma da 0? Si, -8 + 8 = 0. Pues entonces lo hemos hecho bien.
Recuerda que el opuesto de un número es el mismo número cambiado de signo.
De la misma forma resolvemos los apartados b y c
b) Op ( +54 ) = – 54
c) Op ( 5 ) = – 5
Ejemplo 4
El opuesto de un número es -6. ¿Cuál es el número?
Solución:
Vamos a escribir la expresión matemática del enunciado.
Opuesto de un número → Op ( n )
El opuesto de un número es -6 → Op ( n ) = -6
¿quién es n? Pues claro….n es 6.
La solución la damos así:
Si Op ( n ) = -6 entonces n = 6
TAREA Nº 1
HACER UN RESÚMEN DEL VIDEO.
1. Escriba al frente, lo contrario de:
-8 34 3 -28
-36 19 11 35
-1 -10 9 -56
2. Trace una recta numérica y localice los siguientes números:
-8,-10,7,-4,5,-1,-18,6,-3
3. Ordene de mayor a menor (descendentemente):
9,-8,4,0,-1,2,7,-13,18,36,-19,-40
4. Escriba sobre la línea el signo mayor que, menor que o igual a, según corresponda el caso:
-18______321 36________-24 0_______-6
-10______0 -96________-3 -9_______-9
-7_______-7 10________-200 3________-19
15________15 0_________-9 0_________-8
5. Halle el valor absoluto y escriba la lectura:
/-6/ / -9/ /24/ /-8/ /-17/ /-24/ /-18/
6. Ordene de mayor a menor:
/-16/ /16/ /32/ /24/ /-9/ /8/ /-11/ /11/ /29/
7. Sumar o restar según el caso:
/12/ + /-18/ + /-13/ + /2/
/-18/ +/32/ + /-20/ + /15/
/-3/ + /3/ + /-5/ + 6
/-10/ - /-8/ - /-12/ - 6
Suma de números enteros
- Adición de dos números enteros positivos: Se suman sus valores absolutos poniendo el signo +. Ej:
- Adición de dos números enteros negativos: Se suman sus valores absolutos poniendo el signo –. Ej:
- Adición de un número entero positivo y otro negativo: Se restan sus valores absolutos y se pone al resultado el signo del número entero que tiene mayor valor absoluto. Ejemplos:
y 
Como ejemplo, podemos realizar la suma sobre la recta que representa a los números. Cuando sumo un número positivo doy un salto hacia la derecha y si sumo un número negativo lo hago hacia la izquierda:
Ejemplo: 
Propiedades de la suma de enteros
Propiedades de la Suma de números enteros
Teniendo presente estas definiciones, es probable que ciertamente sea mucho más sencillo aproximarse a cada una de las Propiedades matemáticas que pueden distinguirse en base a la Suma de números enteros, y que han sido descritas de la siguiente forma:
Propiedad interna
En primer lugar, la Propiedad interna señalará que la suma, siempre y cuando se realices con números enteros, es una operación que pertenece al conjunto de los Números enteros, puesto que siempre que se sumen números enteros, se obtendrá como total un número entero, sea positivo o negativo. Esta propiedad podrá ser expresada matemáticamente de la siguiente manera:
a + b ∈ Z
a + (-b) ∈ Z
Propiedad conmutativa
Igualmente, las Matemáticas indican que siempre que se produzca una suma de números enteros se podrá dar como sobreentendida la Propiedad conmutativa, puesto que se podrá variar el orden de los sumandos sin que esto produzca una alteración en el resultado, es decir que “el orden de los factores no altera el producto”. Esta propiedad podrá expresarse matemáticamente de la siguiente forma:
a + b = b + a
Propiedad asociativa
Así también, dentro de la Suma de números enteros se podrá considerar la Propiedad Asociativa, la cual señala que dentro de una operación, en donde participen más de dos sumandos, podrán establecerse distintas asociaciones entre ellos, sin que esto se traduzca en una variación o alteración en el total obtenido. Esta propiedad podrá expresarse matemáticamente de la siguiente forma:
(a + b) + c = a + (b + c)
Elemento neutro
Por otro lado, de acuerdo a lo que indican las distintas fuentes teóricas, la Suma de números enteros es una operación matemática que también responderá a la propiedad del elemento neutro, el cual estará ejercido por el cero. De esta forma, todo número que sea sumado por el elemento neutro, dará como resultado –independientemente de su signo- el propio número. Esta ley matemática puede ser expresada de la siguiente forma:
a + 0 = a
Elemento opuesto
Finalmente, la disciplina matemática le atribuye a la Suma de números enteros la propiedad matemática del Elemento opuesto. En este sentido, es importante señalar en primer lugar que se considerará como opuesto de un número entero a aquel número que represente la misma cantidad, pero que presente el signo contrario. Por consiguiente, según la Ley del Elemento opuesto en la Suma de números enteros, todo número que se sume con su número opuesto dará como resultado cero, lo cual puede ser expresado matemáticamente tal como se ve a continuación:
a + (-a)= 0
![\displaystyle [(3-4)+(-2)]\cdot4+9:(-3)\cdot6=](https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cdisplaystyle+%5B%283-4%29%2B%28-2%29%5D%5Ccdot4%2B9%3A%28-3%29%5Ccdot6%3D&bg=ffffff&fg=000&s=0 "\displaystyle [(3-4)+(-2)]\cdot4+9:(-3)\cdot6=")
![\displaystyle [(-1)+(-2)]\cdot4+9:(-3)\cdot6=](https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cdisplaystyle+%5B%28-1%29%2B%28-2%29%5D%5Ccdot4%2B9%3A%28-3%29%5Ccdot6%3D&bg=ffffff&fg=000&s=0 "\displaystyle [(-1)+(-2)]\cdot4+9:(-3)\cdot6=")
![\displaystyle -5\cdot(-5)+[2-(4+6-(-11))]=](https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cdisplaystyle+-5%5Ccdot%28-5%29%2B%5B2-%284%2B6-%28-11%29%29%5D%3D&bg=ffffff&fg=000&s=0 "\displaystyle -5\cdot(-5)+[2-(4+6-(-11))]=")
![\displaystyle -5\cdot(-5)+[2-(4+6+(+11))]=](https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cdisplaystyle+-5%5Ccdot%28-5%29%2B%5B2-%284%2B6%2B%28%2B11%29%29%5D%3D&bg=ffffff&fg=000&s=0 "\displaystyle -5\cdot(-5)+[2-(4+6+(+11))]=")
![\displaystyle -5\cdot(-5)+[2-(+21)]=](https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cdisplaystyle+-5%5Ccdot%28-5%29%2B%5B2-%28%2B21%29%5D%3D&bg=ffffff&fg=000&s=0 "\displaystyle -5\cdot(-5)+[2-(+21)]=")
![\displaystyle -5\cdot(-5)+[2+(-21)]=](https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cdisplaystyle+-5%5Ccdot%28-5%29%2B%5B2%2B%28-21%29%5D%3D&bg=ffffff&fg=000&s=0 "\displaystyle -5\cdot(-5)+[2+(-21)]=")
se exprese omitiendo el signo y se escriba así 
.
también se puede escribir.
