SEMANA 22 Matemáticas

8 AL 12 DE JULIO

GEOMETRÍA

El Teorema de Tales

Dos triángulos semejantes en posición de Tales.

El Teorema de Tales

Enunciado del Teorema de Tales

El teorema de Tales dice que si dos rectas cualesquiera se cortan por una serie de rectas paralelas, los lados o segmentos homólogos son proporcionales.

AB¯¯¯¯¯¯¯¯DE¯¯¯¯¯¯¯¯=BC¯¯¯¯¯¯¯¯EF¯¯¯¯¯¯¯¯=AC¯¯¯¯¯¯¯¯DF¯¯¯¯¯¯¯¯=AD¯¯¯¯¯¯¯¯BE¯¯¯¯¯¯¯¯$$\frac{\overline{AB}}{\overline{DE}}=\frac{\overline{BC}}{\overline{EF}}=\frac{\overline{AC}}{\overline{DF}}=\frac{\overline{AD}}{\overline{BE}}$$

Triángulos semejantes y triángulos en posición de Tales

Dos triángulos son semejantes si tienen sus ángulos iguales y sus lados son proporcionales.

El teorema de Tales también se puede enunciar así: si en un triángulo se traza una línea paralela a cualquiera de sus lados, se obtiene un triángulo que es semejante al triángulo dado.

En la siguiente figura tenemos un triángulo ABC$ABC$ y hemos trazado una paralela al lado BC$BC$ formando el triángulo ADE$ADE$.

Dos triángulos semejantes en posición de Tales.

Entonces los triángulos ABC$ABC$ y ADE$ADE$ son semejantes y se cumple que

AB¯¯¯¯¯¯¯¯AC¯¯¯¯¯¯¯¯=AD¯¯¯¯¯¯¯¯AE¯¯¯¯¯¯¯¯=DB¯¯¯¯¯¯¯¯EC¯¯¯¯¯¯¯¯=DE¯¯¯¯¯¯¯¯BC¯¯¯¯¯¯¯¯$$\frac{\overline{AB}}{\overline{AC}}=\frac{\overline{AD}}{\overline{AE}}=\frac{\overline{DB}}{\overline{EC}}=\frac{\overline{DE}}{\overline{BC}}$$

En realidad este es el enunciado original del teorema de Tales (o primer teorema de Tales) y en este caso se dice que los dos triángulos están en posición de Tales.

Ejercicio resuelto

Los siguientes triángulos están en posición de Tales. Calcula las longitudes x$x$ e y$y$.ç

Solución

Como los triángulos están en posición de Tales tenemos que:

810=3x$$\frac{8}{10}=\frac{3}{x}$$

Despejando x$x$:

8x=3⋅10⇒8x=30⇒x=308⇒x=3,75cm$$8x=3\cdot 10\Rightarrow 8x=30\Rightarrow x=\frac{30}{8}\Rightarrow x=3,75\text{cm}$$

Observemos que también podríamos haber obtenido la longitud x$x$ así:

810=8+310+x⇒810=1110+x$$\frac{8}{10}=\frac{8+3}{10+x}\Rightarrow \frac{8}{10}=\frac{11}{10+x}$$

Nuevamente, despejando x$x$:

8(10+x)=11⋅10⇒80+8x=110⇒8x=30⇒x=308⇒x=3,75cm$$8(10+x)=11\cdot 10\Rightarrow 80+8x=110\Rightarrow 8x=30\Rightarrow x=\frac{30}{8}\Rightarrow x=3,75\text{cm}$$

Procediendo de manera similar calcularemos la longitud de y$y$:

810=5y⇒8y=50⇒y=508⇒y=6,25cm$$\frac{8}{10}=\frac{5}{y}\Rightarrow 8y=50\Rightarrow y=\frac{50}{8}\Rightarrow y=6,25\text{cm}$$

También podríamos haber obtenido y$y$ así:

33,75=5y⇒3y=18,75⇒y=18,753⇒y=6,25cm$$\frac{3}{3,75}=\frac{5}{y}\Rightarrow 3y=18,75\Rightarrow y=\frac{18,75}{3}\Rightarrow y=6,25\text{cm}$$

O así:

1113,75=5y⇒11y=68,75⇒y=68,7511⇒y=6,25cm

Sabías qué Tales de Mileto (nacido en la isla jonia de Mileto en el s. VII a.de C.) ha sido considerado uno de los Siete Sabios de Grecia? Destacó en la filosofía, la astronomía, geometría, ingeniería y…hasta en la política).

Influenciado por el saber egipcio y babilonio, se dijo (sostenido, entre otros, por Plutarco) que basándose en su primer teorema y a través de la medida de las sombras, averiguó la altura de las pirámides de Giza.

VIDEO Nº 1 TEOREMA DE THALES

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OPERACIONES COMBINADAS

VER ENLACEhttp://contenidosdigitales.ulp.edu.ar/exe/matematica1/operaciones_combinadas_con_nmeros_enteros.html

Resolve las siguientes operaciones combinadas.

RETROALIMENTACIÓN  DE NÚMEROS ENTEROS

VER ENLACE   http://contenidosdigitales.ulp.edu.ar/exe/matematica1/resumen_unidad_1.html

La altura del triángulo

Uno de los elementos más importantes de un triángulo es su altura. Más propiamente, deberíamos decir "sus alturas", en plural, puesto que un triángulo tiene tres alturas. En efecto, la altura es la menor distancia entre un vértice y el lado opuesto (o su prolongación), por lo que a cada vértice le corresponde una altura. También utilizamos el nombre de altura para referirnos a la recta que pasa por un vértice y es perpendicular al lado opuesto, pues es sobre esta recta sobre la que medimos esa distancia. Cuando se representa la altura de un triángulo es muy habitual ver que el lado sobre el que se traza es horizontal y, en consecuencia, la altura correspondiente es vertical. Es lo que ocurre en los siguientes casos:      Sin embargo, la altura correspondiente a un lado no cambia aunque cambie la posición del lado: siempre será la perpendicular a dicho lado. Por tanto, una altura puede ser vertical, horizontal u oblicua, según la disposición del lado sobre el que se traza.      A veces alguna de las alturas de un triángulo coincide con uno de sus lados. En otras ocasiones incluso está por fuera del triángulo.      Con ayuda de esta aplicación podrás conocer un poco más sobre las tres alturas de un triángulo. Puedes mover libremente los tres vértices del triángulo en la ventana de la aplicación. Para contestar a algunas preguntas tendrás que utilizar la escuadra y el cartabón, la regla o el transportador. Para hacerlos visibles debes activar las casillas de control que tienes en la parte superior de la ventana. Para medir, tendrás que colocarlos en determinadas posiciones. También tienes un segmento, de color verde, que tendrás que mover para "trazar" alturas. Para ello lo que debes hacer es desplazar sus extremos. En algunas preguntas también tendrás que activar la casilla de control "Mostrar alturas" para ver representadas las alturas del triángulo.